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INTRODUCCIÓN Los sistemas de ecuaciones son comunes en diferentes problemas que se pueden analizar considerando a la matemática como una herramienta. Los sistemas están conformados por ecuaciones de dos variables, algunas de las ellas son lineales, otras cuadráticas. En este material conocerás la manera en que deben utilizarse los métodos algebraicos para determinar la solución de sistemas de ecuaciones formados por dos ecuaciones lineales. Asimismo, te guiaremos en la solución de algunos métodos de resolución como lo es por el método de sustitución; suma y resta. En resumen, a lo largo de este material podrás ampliar tu conocimiento y concepto sobre los sistemas de ecuaciones lineales y los procedimientos algebraicos que se aplican para solucionarlos.

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables (letras, literales o incógnitas) y consiste en encontrar los valores de las variables que satisfacen dichas ecuaciones. La solución o raíz de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones es compatible o posible cuando tiene solución y es inconsistente, incompatible o imposible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones de sistema determinado se llaman independientes. Las ecuaciones de un sistema indeterminado se llaman dependientes. Cuando las ecuaciones representan condiciones impuestas al mismo tiempo y a las mismas variables, decimos que forman un sistema de ecuaciones simultáneas. Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o...

Método por sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas (alguna, si hay, que tenga coeficiente unidad; si no hay, aquella que tenga el coeficiente más pequeño) de una de las ecuaciones y con ese valor se sustituye en la otra. De esta forma queda un sistema de una ecuación con una incógnita. El hecho de despejar una incógnita con coeficiente unidad significa, que, al despejar dicha incógnita, ésta no tiene denominador, lo que simplifica las operaciones. Cualquier otro coeficiente implica que haya denominador. A veces en alguna ecuación ya nos dan una incógnita despejada o incluso su valor; en estos casos simplemente la reemplazamos en la otra ecuación. (Más ejercicios resueltos con estos casos y otros peculiares).

Resolver el siguiente sistema:  x - 3y=5 2x + y =3 La  incógnita   x   de la primera tiene coeficiente 1, por consiguiente despejamos y queda:    x = 5 + 3y Sustituyendo este valor de   x   en la segunda ecuación: 2(5 + 3y) + y = 3 Quitando paréntesis, es decir, al realizar la operación que indica nuestra jerarquía de operaciones dos por cinco y dos por 3y:  10 + 6y + y = 3 Pasando  10, que está sumando, al segundo miembro restando: 6y + y = 3 – 10 Haciendo operaciones en ambos miembros: 7y = – 7 Despejando la   y  (el  7 que está multiplicando pasa dividiendo)   y = –7/7 = –1 Con este valor de   y  entramos en la ecuación despejada anteriormente:  x = 5 + 3y  = 5 + 3·(–1) = 5 – 3 = 2 Así pues la solución es:  x = 2; y = – 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 5x + 6y = 48 Ecuación 2: 2x + 5y = 27 1. Despejar x en la ecuación 1. 2. Sustituir  en la ecuación 2. 3. Sustituir y=3 en  4. Valores de las incógnitas 5. Comprobación del sistema de ecuaciones

Después de conocer el proceso de resolución con el método propuesto, es importante que los estudiantes de educación secundaria se les brinden la oportunidad de resolver este tipo de planteamientos contextualizados como el siguiente:     La edad de don Martín es igual a cuatro veces la edad de Raúl. La suma de sus edades es 70 años. 1. Despejar x en la ecuación 1. 2. Sustituir   en la ecuación 2. 3. Sustituir   y  . 4. Valores de las incógnitas. 5. Comprobación del sistema de ecuaciones. Por lo tanto: De esta forma se comprueba que el sistema de ecuaciones es compatible o bien mantiene la igualdad.

Para fortalecer tu habilidad en la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones 2x2, con el método de resolución de sustitución. Te invito a resolver lo siguiente: 1.     Ismael pagó 370 pesos por seis paquetes de hojas y cinco cuadernos, mientras que Karen pagó 120 pesos por un paquete de hojas y 2 cuadernos. Respuesta: Cuaderno (y)=50; Paquete de hojas (x)=20 2.     Una casa de huéspedes tiene 17 habitaciones; esto incluye habitaciones con una cama y con dos camas. Si en total hay 27 camas, ¿Cuántas habitaciones de cada tipo hay en la casa de huéspedes? Respuesta: Habitación de una cama (a) =7; Habitaciones de dos camas (b)=10 3.     Tres veces la edad de Pedro más la doble edad de María es igual a 9 años. El doble de la edad de Pedro más la edad de María es igual a 5 años. Respuesta: Edad de Pedro (a) =5.6; Edad de María (b)= 4

Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución. El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. En esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, si no es así se trata de acomodar para que así lo sea. Luego, restando o sumando miembro a miembro las ecuaciones, se obtiene una ecuación con una incógnita menos, esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas, de allí el nombre de reducción o eliminación. Los pasos a seguir son: 1. Preparamos ambas ecuaciones, multiplicando (dividiendo) por una constante (número) adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente, salvo signo que puede ser positivo (o negativo), en ambas ecuaciones. 2. Restamos (o sumamos), según signo del coeficiente, miembro a miembro ambas ecuaciones y con ello desaparece una incógnita, así reducimos el número de ecuaciones, en nuestro caso a una e...

  1. Resolver el sistema   (1)   4x + 6y = -3 (2)   5x + 7y = -2 Multiplicar los miembros de la ecuación  (1)  por 5 y los de la ecuación  (2)  por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.                                       5(4x + 6y = -3)                      20x + 30y = - 15                                     -4(5x + 7y = -2)                     -20x - 28y =     8 Sumando algebraica mente ambas ecuaciones, resulta: 20x + 30y = - 15 - 20x  - 28y =    8 0        2y =   - 7 Resolviendo ...

      1. Sistema de ecuaciones: 2. S umar y restar cada término algebraico:   3. La ecuación que obtenemos es: Al resolverla obtenemos: ¿Cómo obtener el valor de la incógnita y? Se debe sustituir en el valor de la incógnita x=5 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En este caso se sustituirá en la ecuación 2 → 2x+y = 19 Comprobar el sistema es: x=5 ; y=9 Comprobar el sistema de ecuaciones: El sistema de ecuaciones es compatible.

ü   Toño y Paty compraron en una tienda playeras y jeans. Todos los jeans y playeras estaban de oferta al mismo precio para dama y caballero. Paty eligió 3 jeans y 2 playeras y pagó 540 pesos, mientras de Toño pagó 740 pesos por 5 playeras menos el precio de 2 jeans. Proceso de resolución de un sistema de ecuaciones 2x2  por el método de suma y resta.                1.     Sistema de ecuaciones              2. Los coeficientes del término y son sujetos de operar, esto se debe a que tienen signo contrario; y al operarlo su resultado es 0.             3. La ecuación que obtenemos es, la cual nos permitirá hallar el valor de la incógnita y. 4. Sustituir el valor de la incógnita x=160 en cualquiera de las dos ecuaciones.         5. Al hallar el valor de las incógnitas, comprobar si este v...

Para fortalecer tu habilidad en la resolución de problemas de sistemas de ecuaciones 2x2, con el método de resolución de suma y resta. Te invito a resolver lo siguiente: 1. Don Matías fue al mercado a vender gallinas y conejos. Doña Lupe le compró 5 gallinas y 3 conejos por $425.00. Don Agustín compro 3 gallinas y 3 conejos por $309. ¿Cuánto pagaré por comprar 2 conejos y 4 gallinas? Respuesta: Gallinas (x)= 58; Conejos (y)=45 ¿Cuánto pagaré por comprar 2 conejos y 4 gallinas? 2 Conejos = 90 y 4 Gallinas 232 2.  Rubén ahorra en su alcancía $235.00 Si solamente tiene monedas de $5.00 y de $10.00, y hay 30 monedas. ¿Cuántas monedas hay de $5 y cuántas de $10? Respuesta: Monedas con denominación $5.00 (x) = 17; Monedas con denominación $10.00 (y) =13 3.  Dominica tiene en un bote paletas y chocolates que suman 30 en total. Si duplica el número de chocolates entonces tendrá 42. ¿Cuántas paletas y cuántos chocolates hay?   Respuesta: Hay 12 paletas y ...